Эквивалентность множеств определяется запасом элементов: количество точек, содержащихся в отрезке от 0 включительно до 1 включительно, бесконечно, и количество натуральных чисел тоже бесконечно, но тем не менее эти множества не эквивалентны — именно это и надо доказать, а то, что ноль не является натуральным числом, никто сомнению не подвергает.
Я правда не знаю, как это доказать.
Из всех элементов этих двух множество только единица принадлежит обоим.
А те числа что на этом отрезке лежат определенно не являются целыми. значит, они не могут быть натуральными…
Речь идёт о количестве чисел: натуральных чисел бесконечно много и точек на отрезке от 0 до 1 тоже бесконечно много. Казалось бы, и тех бесконечно много, и других тоже, но однако эти множества по своей мощности разные. В выходные напишу подробное доказательство.
Итак, нам надо доказать, что количество точек отрезка от 0 до 1 включительно не совпадает с количеством всех натуральных чисел. Допустим, что это не так, т.е. будем действовать методом от противного, тогда все точки отрезка от 0 до 1 включительно можно пронумеровать, т.е. записать в виде последовательности натуральных чисел. Разделим отрезок от 0 до 1 на три равные части и возьмём ту из них, куда не попала точка x под номером 1. Обозначим этот отрезок t1. Затем разделим отрезок t1 на три равные части и выберем в качестве t2 ту из них, которая не содержит точки x2. Продолжая так действовать дальше, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков t1<t2<t3<..., длины которых стремятся к нулю. Теперь применим принцип вложенных отрезков: если на прямой дана система вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся к нулю, то существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам. Это принцип непрерывности прямой: куда бы ни стягивались отрезки, в этом месте на прямой есть точка. Значит, на отрезке от 0 до 1 включительно существует точка, принадлежащая всем отрезкам системы tn, а поэтому она не совпадает ни с одной из точек x1, x2… последовательности. Следовательно, наше предположение о том, что все точки отрезка можно пронумеровать, неверно, а это значит, что множество точек отрезка от 0 до 1 включительно не эквивалентно множеству натуральных чисел, что и требовалось доказать.
Чтобы комментировать надо
зарегистрироваться
или если вы уже регистрировались
войти в свой аккаунт.
Из всех элементов этих двух множество только единица принадлежит обоим.
А те числа что на этом отрезке лежат определенно не являются целыми. значит, они не могут быть натуральными…